شکل مسطح، کروی یا هذلولی کیهان ما؟

2024 نویسنده: Seth Attwood | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-16 16:03

از نظر ما جهان بی نهایت است. امروزه می دانیم که زمین به شکل یک کره است، اما به ندرت به شکل کیهان فکر می کنیم. در هندسه، اشکال سه بعدی بسیاری به عنوان جایگزینی برای فضای نامحدود "آشنا" وجود دارد. نویسندگان این تفاوت را به در دسترس ترین شکل توضیح می دهند.

با نگاه کردن به آسمان شب، به نظر می رسد که فضا برای همیشه در همه جهات ادامه دارد. اینگونه است که ما جهان را تصور می کنیم - اما واقعیتی که واقعیت ندارد. گذشته از این، زمانی بود که همه فکر می کردند زمین مسطح است: انحنای سطح زمین نامحسوس است و این ایده که زمین گرد است غیرقابل درک به نظر می رسید.

امروزه می دانیم که زمین به شکل یک کره است. اما ما به ندرت به شکل جهان فکر می کنیم. همانطور که کره جایگزین زمین مسطح شد، سایر اشکال سه بعدی جایگزین هایی برای فضای نامحدود "آشنا" ارائه می دهند.

دو سوال در مورد شکل جهان می توان پرسید - سوالات جداگانه اما مرتبط با یکدیگر. یکی در مورد هندسه است - محاسبات دقیق زوایا و مساحت ها. مورد دیگر در مورد توپولوژی است: چگونه قطعات جداگانه در یک فرم واحد ادغام می شوند.

داده های کیهان شناسی حاکی از آن است که قسمت مرئی کیهان صاف و همگن است. ساختار محلی فضا در هر نقطه و در هر جهت تقریباً یکسان به نظر می رسد. فقط سه شکل هندسی با این ویژگی ها مطابقت دارد - مسطح، کروی و هذلولی. بیایید به نوبه خود به این اشکال نگاهی بیندازیم، برخی ملاحظات توپولوژیکی و نتیجه گیری بر اساس داده های کیهان شناسی.

جهان تخت

در واقع این هندسه مدرسه است. مجموع زوایای مثلث 180 درجه و مساحت دایره πr2 است. ساده ترین مثال از یک شکل سه بعدی تخت، یک فضای بی نهایت معمولی است، ریاضیدانان آن را اقلیدسی می نامند، اما گزینه های مسطح دیگری نیز وجود دارد.

تصور این اشکال آسان نیست، اما می‌توانیم شهود خود را با تفکر در دو بعد به جای سه بعدی به هم متصل کنیم. علاوه بر صفحه اقلیدسی معمولی، می‌توانیم با بریدن تکه‌ای از صفحه و چسباندن لبه‌های آن، اشکال صاف دیگری ایجاد کنیم. فرض کنید یک تکه کاغذ مستطیلی برش داده ایم و لبه های مخالف آن را با چسب بچسبانیم. اگر لبه بالایی را به لبه پایین بچسبانید، یک استوانه به دست می آید.

شما همچنین می توانید لبه سمت راست را به سمت چپ بچسبانید - سپس یک دونات می گیریم (ریاضیدانان به این شکل چنبره می گویند).

احتمالاً اعتراض خواهید کرد: "چیزی خیلی صاف نیست." و حق با شما خواهد بود. در مورد چنبره تخت کمی تقلب می کردیم. اگر واقعاً به این روش سعی کنید از یک تکه کاغذ یک چنبره درست کنید، با مشکلاتی مواجه خواهید شد. ساختن استوانه آسان است، اما برای چسباندن انتهای آن کار نمی کند: کاغذ در امتداد دایره داخلی چنبره مچاله می شود، اما برای دایره بیرونی کافی نخواهد بود. بنابراین باید نوعی ماده الاستیک مصرف کنید. اما کشش طول و زوایا و در نتیجه کل هندسه را تغییر می دهد.

ساختن یک چنبره فیزیکی صاف واقعی از یک ماده مسطح در داخل یک فضای سه بعدی معمولی بدون تحریف هندسه غیرممکن است. باقی مانده است که به طور انتزاعی در مورد چگونگی زندگی در یک چنبره مسطح حدس بزنیم.

تصور کنید که شما یک موجود دو بعدی هستید که جهان آن یک چنبره صاف است. از آنجایی که شکل این جهان بر اساس یک صفحه کاغذ مسطح است، همه حقایق هندسی ما استفاده می‌کنیم که ثابت بمانند - حداقل در مقیاس محدود: مجموع زوایای یک مثلث تا 180 درجه و غیره. اما با تغییر توپولوژی جهانی از طریق پیرایش و چسباندن، زندگی به طور چشمگیری تغییر خواهد کرد.

برای شروع، چنبره دارای خطوط مستقیم است که حلقه می شوند و به نقطه شروع باز می گردند.

روی یک چنبره انحرافی، آنها منحنی به نظر می رسند، اما برای ساکنان یک چنبره صاف، آنها مستقیم به نظر می رسند. و از آنجایی که نور در یک خط مستقیم حرکت می کند، پس اگر مستقیم به هر جهتی نگاه کنید، خود را از پشت خواهید دید.

انگار روی کاغذ اصلی، نور از شما عبور کرده، به لبه سمت چپ رفته و دوباره در سمت راست ظاهر می‌شود، مثل یک بازی ویدیویی.

در اینجا راه دیگری برای فکر کردن در مورد آن وجود دارد: شما (یا یک پرتو نور) از یکی از چهار لبه عبور می کنید و خود را در یک اتاق جدید می یابید، اما در واقع این همان اتاق است، فقط از دیدگاه متفاوت. با سرگردانی در چنین جهانی، با تعداد بی پایانی از نسخه های اتاق اصلی روبرو خواهید شد.

این بدان معنی است که شما به هر کجا که نگاه کنید تعداد بی نهایت کپی از خود خواهید گرفت. این یک نوع افکت آینه ای است، فقط این کپی ها دقیقا بازتاب نیستند.

در چنبره، هر یک از آنها مربوط به یک یا حلقه دیگری است که در طول آن نور به سمت شما باز می گردد.

به همین ترتیب، با چسباندن وجه های مخالف یک مکعب یا جعبه دیگر، یک چنبره سه بعدی صاف به دست می آوریم. ما قادر نخواهیم بود این فضا را در یک فضای بینهایت معمولی به تصویر بکشیم - به سادگی جا نمی شود - اما می توانیم به طور انتزاعی در مورد زندگی درون آن حدس بزنیم.

اگر زندگی در یک چنبره دو بعدی مانند یک آرایه دو بعدی بی پایان از اتاق های مستطیلی یکسان است، پس زندگی در یک چنبره سه بعدی مانند یک آرایه سه بعدی بی پایان از اتاق های مکعبی یکسان است. شما نیز تعداد بی نهایت کپی از خود را خواهید دید.

چنبره سه بعدی تنها یکی از ده نوع جهان تخت محدود است. همچنین جهان های مسطح بی نهایت وجود دارد - به عنوان مثال، یک آنالوگ سه بعدی از یک استوانه بی نهایت. هر یک از این دنیاها "اتاق خنده" خود را با "بازتاب" خواهند داشت.

آیا جهان ما می تواند یکی از اشکال تخت باشد؟

وقتی به فضا نگاه می کنیم، تعداد نامحدودی از کپی های خود را نمی بینیم. صرف نظر از این، از بین بردن اشکال صاف کار آسانی نیست. اولاً، همه آنها دارای هندسه محلی مشابه فضای اقلیدسی هستند، بنابراین تشخیص آنها با اندازه گیری های محلی ممکن نخواهد بود.

فرض کنید شما حتی کپی خود را دیده اید، این تصویر دور فقط نشان می دهد که شما (یا کهکشان شما به عنوان یک کل) در گذشته های دور چگونه به نظر می رسیدید، زیرا نور تا رسیدن به شما راه طولانی را طی کرده است. شاید ما حتی کپی های خود را ببینیم - اما غیرقابل تشخیص تغییر کرده است. علاوه بر این، کپی‌های مختلف در فواصل متفاوتی از شما هستند، بنابراین شبیه هم نیستند. و علاوه بر این، آنقدر دور که ما هنوز چیزی نخواهیم دید.

برای دور زدن این مشکلات، اخترشناسان معمولاً به دنبال کپی‌هایی از خود نیستند، بلکه به دنبال تکرار ویژگی‌ها در دوردست‌ترین پدیده مرئی هستند - تابش پس‌زمینه مایکروویو کیهانی، این یادگاری از انفجار بزرگ است. در عمل، این به معنای جستجوی جفت دایره با الگوهای منطبق از نقاط گرم و سرد است - فرض بر این است که آنها یکسان هستند، فقط از طرف های مختلف.

ستاره شناسان در سال 2015 به لطف تلسکوپ فضایی پلانک چنین جستجویی را انجام دادند. آنها داده‌هایی را در مورد انواع دایره‌های همزمانی که انتظار داریم در داخل یک چنبره سه بعدی مسطح یا سایر شکل‌های سه‌بعدی مسطح - به اصطلاح صفحه - ببینیم، جمع‌آوری کردند، اما چیزی پیدا نکردند. این بدان معنی است که اگر ما در یک چنبره زندگی می کنیم، به نظر می رسد که آنقدر بزرگ است که هر قطعه تکراری در خارج از جهان قابل مشاهده قرار دارد.

شکل کروی

ما با کره های دو بعدی بسیار آشنا هستیم - این سطح یک توپ، یک پرتقال یا زمین است. اما اگر جهان ما یک کره سه بعدی باشد چه؟

ترسیم یک کره سه بعدی دشوار است، اما به راحتی می توان آن را با یک قیاس ساده توصیف کرد. اگر یک کره دو بعدی مجموعه ای از تمام نقاط در یک فاصله ثابت از یک نقطه مرکزی در فضای سه بعدی معمولی باشد، یک کره سه بعدی (یا "سه کره") مجموعه ای از تمام نقاط در یک فاصله ثابت از مقداری است. نقطه مرکزی در فضای چهار بعدی

زندگی درون یک سه کره با زندگی در فضای مسطح بسیار متفاوت است. برای تجسم آن، تصور کنید که یک موجود دو بعدی در یک کره دو بعدی هستید. کره دو بعدی کل جهان است، بنابراین شما نمی توانید فضای سه بعدی اطراف خود را ببینید و نمی توانید وارد آن شوید. در این جهان کروی، نور در کوتاه ترین مسیر حرکت می کند: در دایره های بزرگ. اما این دایره ها مستقیم به نظر شما می رسند.

حالا تصور کنید که شما و دوست دوبعدی تان در قطب شمال هستید و او به پیاده روی رفته است. با دور شدن، در ابتدا به تدریج در دایره بصری شما کاهش می یابد - مانند دنیای معمولی، البته نه به سرعتی که ما به آن عادت کرده ایم. این به این دلیل است که با بزرگ شدن دایره بصری شما، دوست شما کمتر و کمتر از آن استفاده می کند.

اما به محض اینکه دوست شما از خط استوا عبور می کند، اتفاق عجیبی می افتد: اندازه او شروع به افزایش می کند، اگرچه در واقع به دور شدنش ادامه می دهد. این به این دلیل است که درصد آنها در دایره بصری شما در حال افزایش است.

در سه متری قطب جنوب، دوست شما به نظر می رسد که در سه متری شما ایستاده است.

پس از رسیدن به قطب جنوب، تمام افق قابل مشاهده شما را به طور کامل پر می کند.

و هنگامی که هیچ کس در قطب جنوب نباشد، افق بصری شما حتی غریب تر خواهد شد - این شما هستید. این به این دلیل است که نوری که ساطع می کنید در سراسر کره پخش می شود تا زمانی که برگردد.

این به طور مستقیم بر زندگی در قلمرو سه بعدی تأثیر می گذارد. هر نقطه از سه کره نقطه مقابلی دارد و اگر جسمی در آنجا باشد، آن را در تمام آسمان خواهیم دید. اگر چیزی در آنجا نباشد، ما خود را در پس زمینه خواهیم دید - گویی ظاهر ما بر روی یک بالون قرار گرفته است، سپس به سمت بیرون چرخیده و به کل افق باد می شود.

اما حتی اگر سه کره مدل پایه برای هندسه کروی است، از تنها فضای ممکن دور است. همانطور که ما با برش و چسباندن قطعات فضای اقلیدسی مدل های مختلف تخت را ساختیم، می توانیم با چسباندن قطعات مناسب از سه کره مدل های کروی بسازیم. هر یک از این اشکال چسبانده شده، مانند چنبره، اثر یک "اتاق خنده" را خواهد داشت، فقط تعداد اتاق ها به شکل کروی محدود خواهد بود.

اگر جهان ما کروی باشد چه؟

حتی خودشیفته ترین ما خودمان را به جای آسمان شب پس زمینه نمی بینیم. اما، مانند چنبره مسطح، این که ما چیزی را نمی بینیم به هیچ وجه به معنای وجود نداشتن آن نیست. مرزهای یک جهان کروی می تواند بزرگتر از محدودیت های جهان مرئی باشد و پس زمینه به سادگی قابل مشاهده نیست.

اما بر خلاف چنبره، یک جهان کروی را می توان با استفاده از اندازه گیری های محلی تشخیص داد. اشکال کروی با فضای بی نهایت اقلیدسی نه تنها در توپولوژی جهانی، بلکه در هندسه کوچک نیز متفاوت است. برای مثال، از آنجایی که خطوط مستقیم در هندسه کروی دایره‌های بزرگی هستند، مثلث‌های موجود در آنجا نسبت به مثلث‌های اقلیدسی «پرپشت» هستند و مجموع زوایای آنها از 180 درجه فراتر می‌رود.

اساساً، اندازه‌گیری مثلث‌های کیهانی راه اصلی برای بررسی میزان انحنای جهان است. برای هر نقطه گرم یا سرد در پس زمینه مایکروویو کیهانی، قطر و فاصله آن از زمین که سه ضلع مثلث را تشکیل می دهد، مشخص است. ما می توانیم زاویه تشکیل شده توسط نقطه را در آسمان شب اندازه گیری کنیم - و این یکی از گوشه های مثلث خواهد بود. سپس می‌توانیم بررسی کنیم که آیا ترکیب طول‌های ضلع و مجموع زاویه‌ها با هندسه مسطح، کروی یا هذلولی (که مجموع زوایای مثلث کمتر از 180 درجه است) مطابقت دارد یا خیر.

اکثر این محاسبات، همراه با سایر اندازه گیری های انحنا، فرض می کنند که جهان یا کاملاً مسطح است یا بسیار نزدیک به آن. یک تیم تحقیقاتی اخیراً پیشنهاد کرده است که برخی از داده‌های سال 2018 تلسکوپ فضایی پلانک بیشتر به نفع یک جهان کروی صحبت می‌کند، اگرچه سایر محققان استدلال کردند که شواهد ارائه شده را می‌توان به خطای آماری نسبت داد.

هندسه هذلولی

برخلاف کره ای که روی خود بسته می شود، هندسه هذلولی یا فضایی با انحنای منفی به سمت بیرون باز می شود. این هندسه کلاه لبه پهن، صخره مرجانی و زین است. مدل اصلی هندسه هذلولی، فضای بی نهایت است، درست مانند اقلیدسی مسطح. اما از آنجایی که یک شکل هذلولی بسیار سریعتر از یک شکل مسطح به بیرون منبسط می شود، اگر بخواهیم هندسه آن را مخدوش نکنیم، هیچ راهی برای جا دادن حتی یک صفحه هذلولی دو بعدی در فضای معمولی اقلیدسی وجود ندارد. اما تصویری تحریف شده از صفحه هذلولی وجود دارد که به دیسک پوانکاره معروف است.

از دیدگاه ما، مثلث های نزدیک به دایره مرزی بسیار کوچکتر از مثلث های نزدیک به مرکز به نظر می رسند، اما از نقطه نظر هندسه هذلولی، همه مثلث ها یکسان هستند. اگر بخواهیم این مثلث ها را واقعاً به یک اندازه به تصویر بکشیم - شاید با استفاده از مواد الاستیک و باد کردن هر مثلث به نوبه خود، حرکت از مرکز به بیرون - دیسک ما شبیه یک کلاه لبه پهن می شود و بیشتر و بیشتر خم می شود. و با نزدیک‌تر شدن به مرز، این انحنا از کنترل خارج می‌شود.

در هندسه اقلیدسی معمولی، محیط دایره با شعاع آن نسبت مستقیم دارد، اما در هندسه هذلولی، دایره به صورت تصاعدی نسبت به شعاع رشد می کند. انبوهی از مثلث ها در نزدیکی مرز دیسک هذلولی تشکیل شده است

به دلیل این ویژگی، ریاضیدانان دوست دارند بگویند گم شدن در فضای هذلولی آسان است. اگر دوست شما در فضای عادی اقلیدسی از شما دور شود، شروع به دور شدن می کند، اما به آرامی، زیرا دایره بصری شما به این سرعت رشد نمی کند. در فضای هذلولی، دایره بصری شما به طور تصاعدی گسترش می یابد، بنابراین دوست شما به زودی به یک نقطه بی نهایت کوچک کوچک می شود. بنابراین، اگر مسیر او را دنبال نکرده باشید، بعید است بعداً او را پیدا کنید.

حتی در هندسه هذلولی، مجموع زوایای یک مثلث کمتر از 180 درجه است - به عنوان مثال، مجموع زوایای برخی مثلث ها از موزاییک دیسک پوانکاره تنها 165 درجه است.

اضلاع آن‌ها غیرمستقیم به نظر می‌رسد، اما این به این دلیل است که ما هندسه هذلولی را از طریق یک لنز تحریف کننده بررسی می‌کنیم. برای ساکنین دیسک پوانکاره، این منحنی ها در واقع خطوط مستقیم هستند، بنابراین سریع ترین راه برای رسیدن از نقطه A به نقطه B (هر دو در لبه) از طریق یک برش به مرکز است.

یک راه طبیعی برای ساخت یک آنالوگ سه بعدی از دیسک پوانکاره وجود دارد - یک توپ سه بعدی بردارید و آن را با اشکال سه بعدی پر کنید، که با نزدیک شدن به کره مرزی، مانند مثلث های روی دیسک پوانکاره، به تدریج کاهش می یابد. و مانند صفحات و کره‌ها، می‌توانیم با بریدن قطعات مناسب از یک توپ هذلولی سه‌بعدی و چسباندن چهره‌های آن، مجموعه کاملی از فضاهای هذلولی سه‌بعدی دیگر ایجاد کنیم.

خوب، آیا جهان ما هذلولی است؟

هندسه هذلولی، با مثلث های باریک و دایره هایی که به طور تصاعدی در حال رشد هستند، اصلا شبیه فضای اطراف ما نیست. در واقع، همانطور که قبلاً اشاره کردیم، بیشتر اندازه‌گیری‌های کیهان‌شناسی به سمت یک جهان مسطح متمایل هستند.

اما نمی‌توانیم رد کنیم که در یک دنیای کروی یا هذلولی زندگی می‌کنیم، زیرا قطعات کوچک هر دو جهان تقریباً مسطح به نظر می‌رسند. به عنوان مثال، مجموع زوایای مثلث های کوچک در هندسه کروی فقط کمی بیشتر از 180 درجه است و در هندسه هذلولی فقط کمی کمتر است.

به همین دلیل است که باستان فکر می کردند زمین مسطح است - انحنای زمین با چشم غیر مسلح قابل مشاهده نیست. هرچه شکل کروی یا هذلولی بزرگتر باشد، هر یک از قسمت‌های آن صاف‌تر است، بنابراین، اگر کیهان ما شکل کروی یا هذلولی بسیار بزرگی داشته باشد، قسمت مرئی آن چنان نزدیک به تخت است که انحنای آن را فقط می‌توان با ابزارهای بسیار دقیق تشخیص داد. و ما هنوز آنها را اختراع نکرده ایم.