فراکتال ها چیست: زیبایی ریاضیات و بی نهایت

2024 نویسنده: Seth Attwood | [email protected]. آخرین اصلاح شده: 2023-12-16 16:03

فراکتال ها یک قرن است که شناخته شده اند، به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته اند و کاربردهای متعددی در زندگی دارند. با این حال، این پدیده بر اساس یک ایده بسیار ساده است: بسیاری از اشکال، بی نهایت در زیبایی و تنوع، می تواند از ساختارهای نسبتا ساده تنها با استفاده از دو عملیات - کپی و مقیاس به دست آورد.

درخت، ساحل دریا، ابر یا رگ های خونی در دست ما چه وجه اشتراکی دارند؟ در نگاه اول، ممکن است به نظر برسد که همه این اشیا هیچ وجه اشتراکی ندارند. با این حال، در واقع، یک ویژگی ساختار ذاتی در تمام اشیاء فهرست شده وجود دارد: آنها خود مشابه هستند. از شاخه، و همچنین از تنه درخت، شاخه های کوچکتر، از آنها - حتی کوچکتر، و غیره وجود دارد، یعنی شاخه مانند کل درخت است.

سیستم گردش خون به روشی مشابه مرتب شده است: شریان ها از شریان ها خارج می شوند و از آنها - کوچکترین مویرگ ها که از طریق آنها اکسیژن وارد اندام ها و بافت ها می شود. بیایید به تصاویر ماهواره ای از سواحل دریا نگاه کنیم: خلیج ها و شبه جزیره ها را خواهیم دید. بیایید نگاهی به آن بیندازیم، اما از دید پرنده: خلیج ها و دماغه ها را خواهیم دید. حالا بیایید تصور کنیم که در ساحل ایستاده ایم و به پاهای خود نگاه می کنیم: همیشه سنگریزه هایی وجود دارند که بیشتر از بقیه به داخل آب بیرون زده اند.

یعنی خط ساحلی با بزرگنمایی شبیه خودش باقی می ماند. بنوا ماندلبروت، ریاضیدان آمریکایی (اگرچه در فرانسه بزرگ شده است) این ویژگی اشیاء را فرکتالیته نامید، و خود چنین اشیایی را - فراکتال (از لاتین fractus - شکسته) نامید.

فراکتال چیست؟

این مفهوم هیچ تعریف دقیقی ندارد. بنابراین، کلمه "فرکتال" یک اصطلاح ریاضی نیست. به طور معمول، یک فراکتال یک شکل هندسی است که یک یا چند مورد از ویژگی های زیر را برآورده می کند: • ساختار پیچیده ای در هر بزرگنمایی دارد (برخلاف، برای مثال، یک خط مستقیم، که هر بخشی از آن ساده ترین شکل هندسی است - بخش خط). • (تقریبا) خود مشابه است. • دارای بعد هاسدورف کسری (فرکتال) است که بزرگتر از توپولوژیک است. • می توان با رویه های بازگشتی ساخت.

هندسه و جبر

مطالعه فراکتال‌ها در اواخر قرن 19 و 20 بیشتر اپیزودیک بود تا سیستماتیک، زیرا ریاضیدانان قبلی عمدتاً اشیاء "خوب" را که قابل تحقیق با استفاده از روش‌ها و نظریه‌های عمومی بودند مطالعه می‌کردند. در سال 1872، کارل وایرشتراس، ریاضیدان آلمانی، نمونه ای از تابع پیوسته را ساخت که هیچ جا قابل تمایز نیست. با این حال، ساخت آن کاملاً انتزاعی بود و درک آن دشوار بود.

بنابراین، در سال 1904، هلگه فون کوخ سوئدی یک منحنی پیوسته اختراع کرد که در هیچ کجا مماس ندارد و رسم آن بسیار ساده است. معلوم شد که خواص فراکتال را دارد. یکی از انواع این منحنی "برف کوچ" نام دارد.

ایده شباهت خود فیگورها توسط پل پیر لوی فرانسوی، مربی آینده بنوا ماندلبرو انتخاب شد. در سال 1938، او مقاله خود را با عنوان "منحنی ها و سطوح صفحه و فضایی، متشکل از قسمت های مشابه کل" منتشر کرد، که در آن یک فراکتال دیگر - منحنی C Lévy را توصیف می کند. همه این فراکتال های فوق را می توان به طور مشروط به یک کلاس از فراکتال های سازنده (هندسی) نسبت داد.

کلاس دیگر فراکتال های پویا (جبری) است که شامل مجموعه مندلبرو است. اولین مطالعات در این راستا در آغاز قرن بیستم آغاز شد و با نام ریاضیدانان فرانسوی گاستون جولیا و پیر فاتو مرتبط است.در سال 1918، خاطرات تقریباً دویست صفحه ای جولیا، که به تکرار توابع پیچیده عقلانی اختصاص داشت، منتشر شد، که در آن مجموعه های جولیا شرح داده شد - یک خانواده کامل از فراکتال ها که نزدیک به مجموعه ماندلبروت هستند. این اثر جایزه آکادمی فرانسه را دریافت کرد، اما حاوی یک تصویر نبود، بنابراین نمی توان زیبایی اشیاء کشف شده را درک کرد.

علیرغم اینکه این اثر جولیا را در بین ریاضیدانان آن زمان تجلیل کرد، به سرعت فراموش شد. نیم قرن بعد بود که کامپیوترها دوباره مورد توجه قرار گرفتند: آنها بودند که ثروت و زیبایی دنیای فراکتال ها را نمایان کردند.

ابعاد فراکتال

همانطور که می دانید بعد (تعداد اندازه گیری) یک شکل هندسی تعداد مختصاتی است که برای تعیین موقعیت یک نقطه روی این شکل لازم است.

به عنوان مثال، موقعیت یک نقطه روی یک منحنی با یک مختصات، روی یک سطح (نه لزوماً یک صفحه) با دو مختصات، در فضای سه بعدی با سه مختصات تعیین می شود.

از دیدگاه ریاضی کلی تر، می توانید بعد را به این صورت تعریف کنید: افزایش ابعاد خطی، مثلاً دو برابر، برای اجسام یک بعدی (از نقطه نظر توپولوژیکی) (بخش) منجر به افزایش اندازه می شود. (طول) دو بار، برای دو بعدی (مربع) همین افزایش در ابعاد خطی منجر به افزایش اندازه (مساحت) 4 برابر، برای سه بعدی (مکعب) - 8 برابر می شود. یعنی بعد «واقعی» (به اصطلاح هاسدورف) را می توان به صورت نسبت لگاریتم افزایش «اندازه» یک جسم به لگاریتم افزایش اندازه خطی آن محاسبه کرد. یعنی برای بخش D = log (2) / log (2) = 1، برای صفحه D = log (4) / log (2) = 2، برای حجم D = log (8) / log (2)) = 3.

اکنون بعد منحنی کخ را محاسبه می کنیم که برای ساخت آن قطعه واحد به سه قسمت مساوی تقسیم می شود و فاصله میانی با یک مثلث متساوی الاضلاع بدون این قطعه جایگزین می شود. با سه برابر افزایش ابعاد خطی کمینه قطعه، طول منحنی کخ در log (4) / log (3) ~ 1، 26 افزایش می یابد. یعنی بعد منحنی کخ کسری است!

علم و هنر

در سال 1982 کتاب ماندلبرو به نام «هندسه فراکتالی طبیعت» منتشر شد که در آن نویسنده تقریباً تمام اطلاعات موجود در آن زمان در مورد فراکتال ها را جمع آوری و نظام مند کرده و به شیوه ای آسان و در دسترس ارائه کرده است. ماندلبرو در ارائه خود تاکید اصلی را نه بر فرمول های دست و پا گیر و ساختارهای ریاضی، بلکه بر شهود هندسی خوانندگان کرد. به لطف تصاویر کامپیوتری و داستان های تاریخی، که نویسنده به طرز ماهرانه ای مؤلفه علمی تک نگاری را رقیق کرد، کتاب به پرفروش ترین کتاب تبدیل شد و فراکتال ها برای عموم مردم شناخته شد.

موفقیت آنها در بین غیر ریاضیدانان بیشتر به این دلیل است که با کمک ساختارها و فرمول های بسیار ساده ای که دانش آموز دبیرستانی می تواند درک کند، تصاویری از پیچیدگی و زیبایی شگفت انگیز به دست می آید. هنگامی که رایانه های شخصی به اندازه کافی قدرتمند شدند، حتی یک گرایش کامل در هنر ظاهر شد - نقاشی فراکتال، و تقریباً هر صاحب رایانه می توانست این کار را انجام دهد. اکنون در اینترنت می توانید سایت های زیادی را که به این موضوع اختصاص داده شده اند را به راحتی پیدا کنید.

جنگ و صلح

همانطور که در بالا ذکر شد، یکی از اجرام طبیعی با خواص فراکتالی خط ساحلی است. یک داستان جالب با او مرتبط است، یا بهتر است بگوییم، با تلاش برای اندازه گیری طول آن، که اساس مقاله علمی ماندلبرو را تشکیل داد، و همچنین در کتاب او "هندسه فراکتالی طبیعت" شرح داده شده است.

این آزمایشی است که توسط لوئیس ریچاردسون، ریاضیدان، فیزیکدان و هواشناس بسیار با استعداد و عجیب و غریب انجام شد. یکی از جهت گیری های تحقیق او تلاش برای یافتن توصیفی ریاضی از علل و احتمال درگیری مسلحانه بین دو کشور بود. از جمله پارامترهایی که وی در نظر گرفت، طول مرز مشترک دو کشور متخاصم بود.هنگامی که او داده هایی را برای آزمایش های عددی جمع آوری کرد، دریافت که در منابع مختلف داده های مرز مشترک بین اسپانیا و پرتغال بسیار متفاوت است.

این امر او را بر آن داشت تا موارد زیر را کشف کند: طول مرزهای یک کشور بستگی به خط کشی دارد که آنها را با آن اندازه گیری می کنیم. هرچه مقیاس کوچکتر باشد، حاشیه طولانی تر است. این به این دلیل است که با بزرگنمایی بیشتر می توان خم های ساحلی بیشتری را در نظر گرفت که قبلاً به دلیل ناهمواری اندازه گیری ها نادیده گرفته می شد. و اگر با هر افزایش مقیاس، انحناهای قبلاً محاسبه نشده خطوط باز شود، معلوم می شود که طول مرزها بی نهایت است! درست است، در واقعیت این اتفاق نمی افتد - دقت اندازه گیری های ما محدودیت محدودی دارد. این پارادوکس اثر ریچاردسون نامیده می شود.

فراکتال های سازنده (هندسی)

الگوریتم ساخت فراکتال سازنده در حالت کلی به شرح زیر است. اول از همه به دو شکل هندسی مناسب نیاز داریم که آنها را پایه و قطعه بنامیم. در مرحله اول، اساس فراکتال آینده به تصویر کشیده می شود. سپس برخی از قطعات آن با یک قطعه گرفته شده در مقیاس مناسب جایگزین می شوند - این اولین تکرار ساخت و ساز است. سپس شکل به دست آمده دوباره برخی از قسمت ها را به شکل هایی شبیه به یک قطعه تغییر می دهد و به همین ترتیب اگر این روند را به طور نامحدود ادامه دهیم، در حد یک فراکتال به دست می آید.

بیایید این فرآیند را با استفاده از منحنی Koch به عنوان مثال در نظر بگیریم. به عنوان مبنایی برای منحنی کخ، می توانید هر منحنی را بگیرید (برای "برف ریزه کوخ" یک مثلث است). اما ما خود را به ساده ترین مورد محدود می کنیم - یک بخش. قطعه یک خط شکسته است که در بالای شکل نشان داده شده است. پس از اولین تکرار الگوریتم، در این حالت، قطعه اولیه با قطعه منطبق خواهد شد، سپس هر یک از قطعات تشکیل دهنده آن با یک خط شکسته، شبیه به یک قطعه و غیره جایگزین می شود. شکل، چهار مرحله اول را نشان می دهد. این فرآیند.

به زبان ریاضیات: فراکتال های پویا (جبری)

فراکتال‌های این نوع در مطالعه سیستم‌های دینامیکی غیرخطی به وجود می‌آیند (از این رو نام آن). رفتار چنین سیستمی را می توان با یک تابع غیرخطی پیچیده (چند جمله ای) f (z) توصیف کرد. نقطه شروع z0 را در صفحه مختلط در نظر بگیرید (نوار کناری را ببینید). اکنون چنین دنباله ای نامتناهی از اعداد را در صفحه مختلط در نظر بگیرید که هر یک از موارد زیر از قبلی به دست می آید: z0، z1 = f (z0)، z2 = f (z1)، … zn + 1 = f (zn).

بسته به نقطه اولیه z0، چنین دنباله ای می تواند رفتار متفاوتی داشته باشد: تمایل به بی نهایت به صورت n -> ∞; همگرایی به نقطه پایانی؛ به صورت دوره ای تعدادی از مقادیر ثابت را بگیرید. گزینه های پیچیده تر نیز امکان پذیر است.

اعداد مختلط

عدد مختلط عددی است متشکل از دو بخش - واقعی و خیالی، یعنی مجموع رسمی x + iy (در اینجا x و y اعداد واقعی هستند). من به اصطلاح. واحد خیالی، یعنی عددی که معادله i ^ 2 = -1 را برآورده کند. عملیات ریاضی پایه بر روی اعداد مختلط تعریف می شوند - جمع، ضرب، تقسیم، تفریق (فقط عملیات مقایسه تعریف نشده است). برای نمایش اعداد مختلط، اغلب از یک نمایش هندسی استفاده می شود - در صفحه (که به آن مختلط می گویند)، قسمت واقعی روی آبسیسا گذاشته می شود و قسمت خیالی روی مختصر قرار می گیرد، در حالی که عدد مختلط با یک نقطه با دکارتی مطابقت دارد. مختصات x و y

بنابراین، هر نقطه z از صفحه مختلط ویژگی رفتاری خاص خود را در طول تکرار تابع f (z) دارد و کل صفحه به قطعات تقسیم می شود. در این مورد، نقاطی که روی مرزهای این قسمت ها قرار دارند دارای ویژگی زیر هستند: برای یک جابجایی کوچک دلخواه، ماهیت رفتار آنها به شدت تغییر می کند (به چنین نقاطی نقاط انشعاب می گویند). بنابراین، معلوم می‌شود که مجموعه‌هایی از نقاط با یک نوع رفتار خاص، و همچنین مجموعه‌ای از نقاط انشعاب، اغلب دارای ویژگی‌های فراکتالی هستند. اینها مجموعه جولیا برای تابع f (z) هستند.

خانواده اژدها

با تغییر پایه و قطعه، می توانید تنوع شگفت انگیزی از فراکتال های سازنده را بدست آورید.

علاوه بر این، عملیات مشابه را می توان در فضای سه بعدی انجام داد. نمونه هایی از فراکتال های حجمی عبارتند از: اسفنج منگر، هرم سیرپینسکی و غیره.

از خانواده اژدها به عنوان فراکتال های سازنده نیز یاد می شود. گاهی اوقات آنها را با نام کاشفان "اژدهای بزرگراه هارتر" می نامند (از نظر شکل آنها شبیه اژدهایان چینی هستند). روش های مختلفی برای رسم این منحنی وجود دارد. ساده ترین و شهودی ترین آنها این است: باید یک نوار کاغذ به اندازه کافی بلند بردارید (هر چه کاغذ نازکتر باشد بهتر است) و آن را از وسط تا کنید. سپس آن را دو بار دیگر در همان جهت دفعه اول خم کنید.

پس از چندین بار تکرار (معمولاً پس از پنج یا شش تا کردن، نوار آنقدر ضخیم می شود که نمی توان بیشتر خم شود)، باید نوار را به عقب باز کنید و سعی کنید در چین ها زوایای 90 درجه ایجاد کنید. سپس منحنی اژدها در نیمرخ مشخص می شود. البته، این فقط یک تقریب خواهد بود، مانند تمام تلاش‌های ما برای به تصویر کشیدن اجسام فراکتال. کامپیوتر به شما این امکان را می دهد که مراحل بسیار بیشتری را در این فرآیند به تصویر بکشید و نتیجه یک شکل بسیار زیبا است.

مجموعه Mandelbrot به روشی کمی متفاوت ساخته شده است. تابع fc (z) = z ^ 2 + c را در نظر بگیرید که در آن c یک عدد مختلط است. اجازه دهید دنباله ای از این تابع را با z0 = 0 بسازیم، بسته به پارامتر c، می تواند تا بی نهایت واگرا شود یا محدود بماند. علاوه بر این، تمام مقادیر c که این دنباله برای آنها محدود شده است، مجموعه Mandelbrot را تشکیل می دهند. خود مندلبروت و دیگر ریاضیدانان که بسیاری از خواص جالب این مجموعه را کشف کردند، به تفصیل مورد مطالعه قرار گرفت.

مشاهده می شود که تعاریف مجموعه جولیا و ماندلبرو مشابه یکدیگر است. در واقع این دو مجموعه ارتباط تنگاتنگی با هم دارند. یعنی مجموعه Mandelbrot تمام مقادیر پارامتر مختلط c است که مجموعه جولیا fc (z) به آن متصل است (مجموعه ای متصل نامیده می شود که نتوان آن را به دو قسمت مجزا تقسیم کرد، با برخی شرایط اضافی).

فراکتال ها و زندگی

امروزه تئوری فراکتال ها به طور گسترده در زمینه های مختلف فعالیت های انسانی مورد استفاده قرار می گیرد. علاوه بر یک شی کاملاً علمی برای تحقیق و نقاشی فراکتال که قبلاً ذکر شد، فراکتال ها در تئوری اطلاعات برای فشرده سازی داده های گرافیکی استفاده می شوند (در اینجا عمدتاً از ویژگی خود شباهت فراکتال ها استفاده می شود - بالاخره برای به خاطر سپردن یک قطعه کوچک از یک نقاشی و تبدیل که با آن می توانید بقیه قسمت ها را دریافت کنید، حافظه بسیار کمتری نسبت به ذخیره کل فایل مورد نیاز است).

با افزودن اغتشاشات تصادفی به فرمول های تعریف کننده فراکتال، می توان فراکتال های تصادفی را به دست آورد که به طور قابل قبولی برخی از اشیاء واقعی را منتقل می کنند - عناصر امدادی، سطح آب ها، برخی گیاهان، که با موفقیت در فیزیک، جغرافیا و گرافیک کامپیوتری برای دستیابی به چیزهای بیشتر استفاده می شود. شباهت اشیاء شبیه سازی شده با واقعی در الکترونیک آنتن هایی تولید می شود که شکل فراکتالی دارند. با اشغال فضای کمی، دریافت سیگنال با کیفیت بسیار بالایی را ارائه می دهند.

اقتصاددانان از فراکتال ها برای توصیف منحنی های نرخ ارز استفاده می کنند (ویژگی کشف شده توسط ماندلبروت). این سفر کوچک به دنیای شگفت‌انگیز زیبا و متنوع فراکتال‌ها به پایان می‌رسد.